Unvollständige Induktion
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Dieser Artikel ist in Arbeit • Letzte Bearbeitung: 30.10.2010
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Die unvollständige Induktion ist ein mathematisches Beweisverfahren, welches sich an die vollständige Induktion anlehnt.
Verfahren
Der Ablauf basiert auf der vollständigen Induktion: Wenn irgendeine Aussage P (oder Q, was auch immer) für alle n>0 gilt, gilt sie für alle n>0. Das beweist man, indem man behauptet, dass die Aussage dann gilt, wenn sie für alle n+1 gültig ist. Dadurch wird per Dominoeffekt die Gültigkeit für alle nachfolgenden Zahlen bewiesen. Klingt komisch, ist aber so.
Die unvollständige Induktion geht damit etwas schlampiger um, es wird lediglich gesagt: Wenn die Aussage P (oder Q) für irgendeine Zufallszahl (frei wählbar) gilt und auch für die nächste natürliche Zahl (= Zahl ohne Komma) gilt, ist sie damit automatisch für alle Zahlen gültig.
Das behandelt natürlich zwangsläufig nicht die Fälle vor und hinter den gewählten Zahlen. Auch wird auf solch überflüssige Sachen wie Induktionsanfang vor und nach jedem einzelnen Schritt verzichtet. Aber schließlich muss man den Namen der Methode ja irgendwie rechtfertigen.
Anwendungsbeispiel:
- 2 ist eine Primzahl.
- Die nächste natürliche Zahl (3) ist auch eine Primzahl.
- Folglich sind alle natürlichen Zahlen außer 1 Primzahlen.
Anschließend kann man guten Gewissens behaupten, die Aussage P (oder Q) mathematisch bewiesen zu haben. Dass man die umstrittene unvollständige Induktion benutzt hat, muss ja keiner wissen - hauptsache, die Aussage wurde bewiesen! Oder?
