Apfelzählprinzip: Unterschied zwischen den Versionen
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Version vom 2. Oktober 2009, 21:44 Uhr
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Das Apfelzählprinzip bezeichnet einen Zweig der Mathematik, der sich mit der Unterscheidung von aktualer und potentieller Unendlichkeit auseinandersetzt. Als solcher ist dieses Prinzip Teil der Philosophie der Mathematik sowie elementarer Streitpunkt unter Mathematikern.
Inhaltsverzeichnis
Das Problem der Unendlichkeit
Die Unendlichkeit ist einer direkten menschlichen Erfahrung unzugänglich. Aus diesem Grund haben sich seit dem frühen Altertum abstrakte Vorstellungen von Unendlichkeit gebildet, welche sich zumeist auf die räumlichen oder zeitlichen Grenzen beziehen. In der Philosophie und Theologie wird Unendlichkeit meist begriffen als ein Attribut Gottes bzw. des Göttlichen. - In der Mathematik jedoch stand man vor dem Problem, wie man mit der Unendlichkeit umgehen oder gar rechnen soll.
Das Dilemma der Mathematik dreht sich im Kern um die Frage, ob man sich eine Menge unendlicher Zahlen (z.B. die natürlichen Zahlen) als fertig vorliegend vorstellen muss (aktual unendlich) oder als zu jedem Zeitpunkt endlich, aber immer größer werdend (potentiell unendlich). Die scheinbare Irrelevanz wird sofort irrelevant, wenn man sich bewusst macht, dass potentiell unendliche Zahlen zum Rechnen kaum zu gebrauchen sind - und daher heutzutage von jedem anständigen Mathematiker abgelehnt werden. Weiterhin ergibt sich nur aus der aktualen Unendlichkeit, dass es unterschiedliche Unendlichkeiten gibt, die jeweils eigene Eigenschaften haben und verschieden groß sein können. Und erst dann macht Mathe doch so richtig Spaß, oder ?
Entwicklung einer Lösung
Der bedeutendste Mathematiker des Mittelalters, Leonardo Fibonacci aus Pisa, beschäftigte sich neben der Kaninchenzucht Zeit seines Lebens auch mit dem Anbau von Äpfeln und Erdbeeren, um wirtschaftlich über die Runden zu kommen und einen halbwegs abwechslungsreichen Speiseplan zu haben. Während die Kaninchenzucht seinen Ruhm als Gelehrter begründete (siehe Fibonacci-Folge), waren die Erdbeeren für Rechenkünste nicht zu gebrauchen, weil sie so schnell matschig wurden und ein Zählen derselben dann nicht mehr möglich war. Bei den Äpfeln hingegen war das anders: Mit ihnen konnte man auch in den langen und kalten Winternächten noch rechnen, um dem drohenden Hungertod zu entgehen.
Fibonacci entwickelte im Winter des Jahres 1212 eine Methode, um die Eigenschaften einer Unendlichkeit unfehlbar zu erkennen: Er stellte sich die einzelnen Elemente der unendlichen Menge jeweils als Apfel vor. In seinem Hungerwahn (lat. delirium escurialis) erkannte er in voller Klarheit die Beschaffenheit unendlicher Mengen und schrieb die berühmte Fibonacci-Formel nieder.
Die Fibonacci-Formel
[math]f\!\,'(x) = \begin{cases} \overbrace {\lim_{|x| \to \infty}\ \sin \bigl( \circlearrowleft \mathbf{\phi} \begin{smallmatrix} a&b \\ \leftrightsquigarrow \curvearrowright c&d \end{smallmatrix} \bigr) \bigl( \begin{smallmatrix} a&b \\ c&d \end{smallmatrix} \bigr) \frac{\sup \max \mathbf{\heartsuit} \frac 1x \cdot \frac{-1}{x^2}} \min \sum_{k=1}^N k^2 \lessdot \gtrdot {\frac{-1}{x^2}},}^{\forall x \, A(\sqrt[n]{x})} & \text{wenn }x\text{ aktual unendlich,}\\ \overrightarrow {A \xleftarrow[P+1]{n+\mu-1} B \xrightarrow[T]{n\pm i-1} C}\sin x + \ln y + \operatorname{\mathbf{Grauen}} \, z \arctan \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \prod\nolimits_{i=1}^N x_i, & \text{wenn }x\text{ potentiell unendlich.} \end{cases} [/math]
Das Leibniz-Phänomen
Der Philosoph, Mathematiker und Physiker Gottfried Wilhelm Leibniz modifizierte 1704 die Fibonacci-Formel zu der sogenannten Leibniz-Form mit verbesserter Rezeptur. Die für den mathematischen Laien mysteriösen Zähne á 14 bzw. 10 Stück je Seite enthalten bei genauer Betrachtung den Code zur Überwindung des Raum-Zeit-Kontinuums unseres Universums. Bei fachgerechter Umsetzung erhält man wahlweise eine Zeitmaschine, um die Eloi vor den räuberischen Morlocks zu retten, oder aber ein Formel-1-Automobil, mit dem man unweigerlich alle Grand Prix-Rennen gewinnt.
